FALACIAS MATEMÁTICAS

Una falacia es un razonamiento no válido o incorrecto pero con la apariencia de razonamiento correcto. Las falacias entran a formar parte de las matemáticas locas, sección en la que estamos mostrando muchas de las curiosidades del mundo matemático.  En matemáticas encontramos muchos procesos que nos llevan a contradicciones o a falacias, a pesar de que el proceso parece correcto, a un error un tanto sutil e intencionado que es el que nos lleva a resultados curiosos y contradictorios.

FALACIA MATEMÁTICA 1

Que tal si te decimos que dos es igual a 1.  Aunque suene bien descabellado observa el siguiente razonamiento:

Otra manera de llegar al mismo resultado 2=1 es el siguiente.

En el siguiente razonamiento también probamos que 2=1.  Analiza con mucha atención y encuentra cuál es el error en su desarrollo.

Una vez más estamos probando que 2=1, utilizando en esta oportunidad las derivadas, veamos:

FALACIA MATEMÁTICA 2

4=2.  Sorprende a tus amigos con esta falacia matemática.  Claro no les cuentes en dónde está el error.  ¿Ya lo sabes?

FALACIA MATEMÁTICA 3
Que 1 = 1, difícil de creer, pero con el siguiente razonamiento lo confirmaras.

FALACIA MATEMÁTICA 4
Mostremos ahora que -2 = 1, confírmalo con el siguiente razonamiento.  Y dónde está el error, atrévete a encontrarlo.

FALACIA MATEMÁTICA 5
Que tal si le mostramos a nuestros estudiantes que 64 = 65, cómo se sorprenderán.

La siguiente animación ilustrará mucho más esta falacia:  (Tomada de:  http://mathblag.wordpress.com/2011/08/28/a-paradoxical-dissection/)

Todo parece que está bien, Se tiene 4 piezas, con ellas se arma un cuadrado de lado 8 y por lo tanto su área es 64, luego con las mismas piezas se arma ahora un rectángulo de lado 13x5 con un área igual a 65, lo que comprueba que 64 = 65.  Y entonces dónde esta el error.  Si se ampliara la imagen del rectángulo, podríamos alcanzar a ver un estrechísimo espacio en la diagonal cuya área no podía ser más que 1, es decir que con las cuatro piezas no es posible armar el rectángulo.

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CLASES DE NÚMEROS

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos o clases de números, a continuación se indican algunos:
**

NÚMERO PRIMO

Un número primo es un número natural mayor que 1 y que posee exactamente dos divisores, el 1 y el mismo número.  Son números primos:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

La gráfica nos muestra los primeros números primos menores que 100.

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS
Dos o más números son primos relativos o primos entre sí, o coprimos, si su máximo común divisor MCD es 1.  Por ejemplo 8 y 25 son primos relativos, así 8 y 25 no sean primos.

También son primos relativos o primos entre sí, los números 22, 32 y 35:

Dos números consecutivos son primos relativos.

PRIMOS GEMELOS
Dos números primos son primos gemelos si están separados por una distancia de dos unidades.  Los números 3 y 5 son primos gemelos, también lo son 11 y 13.  Las siguientes son parejas de números primos gemelos menores que 1000:  (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

NÚMERO COMPUESTO

Es todo número natural mayor que 1 no primo. Los números compuestos tienen uno o más divisores diferentes a 1 y a sí mismo.  Son números compuestos:  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ...

Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como el producto de dos enteros positivos menores que él.  Así, el número compuesto  24 puede expresarse como 3x8.

De igual manera los números compuestos pueden expresarse como el producto de dos o más números primos:  Así el número compuesto 15 puede expresarse como 3x5.

NÚMERO PERFECTO

Todo número natural es perfecto, si la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el mismo número) es igual al número.  Así por ejemplo, el número 6 es perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2 y 3 y la suma de ellos es igual al mismo número, es decir, 6.

Son números perfectos:  6, 28, 496, 8128.

Considerando la suma de sus divisores propios de un números existen otros tipos de números como:

NÚMERO DEFECTIVO

También llamado deficiente o retrasado y es aquel número cuya suma de sus divisores propios es menor que dicho número.  Por ejemplo, 14 es un número defectivo ya que sus divisores propios son:  1, 2  y  7, y la suma de ellos es 1+2+7 =10 que es menor que el número.  Otro número defectivo es 16, pues sus divisores propios son:  1, 2, 4 y 8, y la suma de estos divisores es:  1+2+4+8=15, que también es menor que el número.

Todos los números primos son defectivos, y también lo son las potencias de los números primos y los divisores propios de los números defectivos y perfectos. Es fácil ver que existen infinitos números defectivos, ya que existen infinitos números primos, y éstos son sólo algunos de los números defectivos.

NÚMERO ABUNDANTE

Todo número natural es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número.  También llamado número excesivo. 

Los primeros números abundantes son:  12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …

Existen infinitos números abundantes pares e impares. Cualquier múltiplo propio de número perfecto, y cualquier múltiplo de un número abundante es abundante

NÚMEROS AMIGOS

Dos enteros positivos son amigos, si la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número.

Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

También son números amigos 1184 y 1210;   6232 y  6368;  17296 y 18416;   9363584 y 9437056.

NÚMERO CURIOSO

Un número natural es curioso si su cuadrado tiene al propio número como última cifra.  Así, el número 25 es curioso ya que su cuadrado es 625, también es curioso 76 porque su cuadrado es 5776

NÚMERO FELIZ

Todo número natural que cumpla  que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1.  Por ejemplo, el número 203 es un número feliz puesto que:

NÚMERO INFELIZ

Todo número natural que no es feliz.  Si un número es infeliz, la suma de los cuadrados nunca dará 1, sino que entrará en un bucle infinito.  Así por ejemplo, 16 es un número infeliz porque:

NÚMERO POLIGONAL

Tambíén llamado número figurado, es un número que puede representarse mediante un polígono regular.  Los matemáticos de la antigüedad descubrieron que los números podían representar de ciertas formas usando piedras o semillas.  Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos de los pitagóricos, triángulos y cuadrados.

Observemos algunos de los números poligonales en el siguiente cuadro:

NÚMERO PALINDRÓMICO
Número natural que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. 

Los dígitos son palindrómicos:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Son números palindrómicos de dos dígitos:  11, 22, 33, 44,  55, 66, 77, 88, 99. 

Son números palindrómicos de tres dígitos:  101, 111, 121, 131, 141,  ,..., 181, 191, 202, 212,..., 292, 303, 313,..., 898, 909, 919, 929,..., 979, 989, 999.

NÚMERO NARCISISTA

Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.  Por ejemplo: 153 es un número narcisista.

Se llaman así, porque parecen de alguna forma gustarse a sí mismos, como si se viesen reflejados en un espejo, al estilo de Narciso, el hermoso joven, que cuenta la mitología griega, estaba tan enamorado de sí mismo que absorto se miraba reflejado en las aguas de un lago, que absorto en su autocontemplación, un día se cayó y se ahogó.

El número narcisista más grande que se conoce se obtiene elevando cada uno de sus dígitos a la potencia 39 y sumando los resultados:  115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

NÚMERO VAMPIRO

Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos.  Así 2187 es un número vampiro puesto que 2187 = 27x81.

NÚMERO OMIRP

Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo.  Por ejemplo 13 es un número omirp porque 31 también es primo.  1597 también es un número omirp, ya que 7951 también es primo.

Fuentes:

• http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/
• http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
• http://www.muyinteresante.es/ique-son-los-numeros-narcisistas
• http://www.albertocoto.com/index.php?option=com_content&view=article&id=398:numeros-narcisistas&catid=16:blog&Itemid=52

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CURIOSIDADES DE PI

El número pi, es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

π (pi) es un número irracional, es decir, es un decimal infinito no periódico y es una de las constantes matemáticas más importantes.

Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de pi, truncado a sus primeras cifras decimales es: 3.14159265358979323846...

Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre de pi (de periphereia) denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo.

Algunas curiosidades sobre el número pi:

• En distintas culturas, china, egipcia, europea, india, etc., se trato de obtener mejores aproximaciones de Pi por ser de aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la construcción.
• Muchos de los intentos de evaluar Pi en la antigüedad utilizaban el método de calcular el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos a circunferencias.
• Modernamente para evaluar Pi se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/Pi²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es (Pi-2)/4
• En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo griego para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748, le dio el espaldarazo definitivo.

• En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo griego para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748, le dio el espaldarazo definitivo.
• Muchos intentos para determinar Pi con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo : "construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado".
• Johan Heinrich Lambert(1728-1777), matemático alemán, probó que Pi es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional. Números racionales son : 1, 2 , 3/4, 17/23)
• Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que Pi es un número trascendental. Esto significa entre otras cosas que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando.

• Este número cuenta con un día de celebración, el dia del Pi, que se celebra en muchos paises. El 14 de marzo de cada año, fecha que el mundo anglosajon se escribe como 3/14, mes 3, día 14, igual que los primeros decimales de la constante Pi. Este acontecimiento suele celebrarse a las 1:59 P.M, coincidiendo con una aproximación de Pi: 3.14159, la gente se reune a esa hora para recitar todas las cifras que sabe de memoria de este número, explicar o comentar curiosidades sobre él o ver Pi, La Película, entre otras actividades. En Estados Unidos, en los colegios, suelen hacer actividades especiales con los niños en clases de matemáticas. Pero este no es el único día relacionado con Pi, el 22 de julio es el Día de Aproximación a Pi, porque si se divide la fecha numérica de ese día 22 entre 7, el resultado es 3.14285714, considerado como una buena aproximación a Pi.
  

  Algunos valores de Pi obtenidos antes de 1600

  Matemático o Lugar	Año	Valor
  La Biblia (Reyes-I-7-23)		3
  Papiro de Ahmes (Egipto)	1650 a.C.	3,16
  Tablilla de Susa (Babilonia)	1600 a.C.	3,125
  Bandhayana (India)	500 a.C.	3,09
  Arquímedes de Siracusa	(287-212 a.C)	entre 223/71 y 220/70
  Liu Hui (China)	260	3,1416
  Tsu Chung Chih	480	Entre : 3,145926 y 3,1415927
  Al-Kashi (Persia)	1429	3,1415926535897932
  Franciscus Vieta (Francia)	(1540-1603)	3,1415926536

  
  
• El matemático alemán Ludolph van Ceulen(1540-1610) pidió que, como epitafio, escribiesen en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado. Los alemanes llaman a Pi el número ludofiano.
• William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de Pi.(En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de este todos los demás eran incorrectos)
• En 1949 uno de los primeros ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determino Pi con 2037 decimales.
• En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.
• En 1961 Daniell Shanks(sin relación con William Shanks) y Wrench, obtuvieron en 8 h 23 min, 100.265 cifras en un IBM 7090.
• En 1983, Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada, en menos de 30 h, en un HITAC M-280 H obtuvieron 16.777.206 (2²⁴) cifras.
• En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras , utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.

Fuentes:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Número_π
• http://ciencianet.com/pi.html
• http://www.cronica.com.mx/nota.php?idc=231162

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CURIOSIDADES DEL 142857

Este número 142857 (ciento cuarenta y dos mil ocho cientos cincuenta y siete) se destaca porque presenta un gran número de curiosidades, veamos algunas:

• Tiene la particularidad que al ser multiplicado por la secuencia de 2 a 6, el producto resultante corresponde a las mismas cifras del número original en otro orden. Por esta razón, este tipo de números se denominan cíclicos.

142857 x 2 = 285714

142857 x 3 = 428571

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 x 6 = 857142

• Al multiplicarlo por 7, no se cumple la particularidad anterior, pero el resultado es también curioso.

142857 x 7 = 999999

• El 7 tiene una relación especial con el número 142857, se observa en el punto anterior. Este número es la parte periódica de un número que es dividido entre 7, sea cual sea el número, los números que conforman 142857 se repetirán siempre en el mismo orden (periodo), empezando de uno u otro dígito.

1/7 = 0.142857142857142857142857142857 . . . Periodo : 142857

2/7 = 0.285714285714285714285714285714 . . . Periodo : 285714

3/7 = 0.428571428571428571428571428571 . . . Periodo : 428571

4/7 = 0.571428571428571428571428571428 . . . Periodo : 571428

5/7 = 0.714285714285714285714285714285 . . . Periodo : 714285

6/7 = 0.857142857142857142857142857142 . . . Periodo : 857142

• Si se eleva al cuadrado y partimos en dos números la potencia, observa lo curioso de este resultado:

• Si se suman los tres primeros dígitos con los tres últimos, se obtiene otro resultado curioso:

142 + 857 = 999

• Y si se suman los dos primeros dígitos con los dos siguientes y los dos últimos:

14 + 28 + 57 = 99

Fuentes

• http://es.wikipedia.org/wiki/142.857
• http://www.planetacurioso.com/2007/06/29/las-curiosidades-del-numero-142857/

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CURIOSIDADES DEL 13

Este famoso número tiene sus adeptos y también muchos contradictores. Se lo relaciona con el día martes o el día viernes. No en vano se suele decir: “En martes 13 no te cases ni te embarques, ni de tu familia te apartes”.

***

La triscaidecafobia es el miedo irracional al número 13. Se considera normalmente una superstición. La fobia específica al viernes 13 se llama paraskavedekatriafobia o friggatriscaidecafobia, mientras que la fobia al martes 13 se llama trezidavomartiofobia.

*

Algunas de las curiosidades de este número son: *

• En Francia, por ejemplo, nunca se le da a una casa el número trece en su dirección.
• En Madrid se omite la línea 13 del autobus.
• En Italia, la lotería nacional lo omite.
• El código de Hammurabi omite este número en su lista.
• Es  el  séptimo  termino  de  la  sucesión  de  Fibonacci:  0, 1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21, 34, ...
• Era un numero sagrado para los mayas, el cual representaba las 13 fases lunares.
• Las líneas aéreas internacionales obvian ese número en los asientos de los aviones, y utilizan el 12 Bis.
• En los Estados Unidos, los edificios rascacielos y departamentos dan al piso que sigue al 12 el número 14.
• En la estructura cósmica la magnitud 13 no se prensenta sola, sino sumando la unidad 12+1
• El presidente estadounidense F.D. Roosevelt, ordenó que apareciesen en el dólar estadounidense la pirámide truncada con el triángulo y el ojo que todo lo ve en la parte superior (símbolo de Los Illuminati de Weishaupt), los trece escalones de la pirámide correspondientes a los trece grados del Rito de los Iluminados de Baviera y la fecha 1776, que coincide con la de la fundación de Los Illuminati de Baviera y de la Declaración de Independencia. Curiosa coincidencia la del número 13 que se repite al otro lado del billete, pues hay trece estrellas sobre la cabeza del águila, que representan las trece colonias británicas secesionistas que firmaron la Declaración de Independencia el 4 de julio de 1776. El águila, además, porta en una de sus garras una rama de olivo con trece hojas y en la otra garra trece flechas.

Hay varios explicaciones del porque es el 13 un número asociado a la mala suerte:

• El hecho de que en la última cena, luego que Jesucristo fuera crucificado los discípulos eran 13.
• Las leyendas nórdicas y la cábala hablan sobre los 13 espíritus del mal
• La venida del anticristo y la bestia aparecen en el capítulo 13 de El Apocalipsis
• Los calendarios sólo tienen doce meses. En el año intercalado babilónico había un mes 13 intercalado en el signo del "cuervo de la mala suerte".
• En el tarot, el número 13 es referencia de la muerte.
• Viernes 13 de 1307 los templarios son acusados de herejía y entregados a la inquisición. Se dice que los templarios dejaron maldiciones ese día antes de ser torturados.
• El Apollo 13 fue el único de los Apollos que no consiguió alunizar (desde el primero que lo consiguió)
• En el siglo XVIII la marina británica intentó eliminar las supersticiones relativas al día viernes 13. Se mandó rebautizar a un buque con el nombre de HMS Friday (Friday significa “viernes”, en inglés), se designó a un capitán llamado Jim Friday, se reclutó a la tripulación un día viernes, también en viernes se armó la quilla del barco; y se botó la nave un viernes 13. Jamás se volvió a saber del barco o de su tripulación.

Fuentes:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Triscaidecafobia
• http://www.elalmanaque.com/acertijos/mates.htm
• http://www.sabercurioso.com/tag/billetes/

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CURIOSIDADES DEL 153

El número 153 presenta propiedades muy curiosas. Veamos algunas:

• La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto.

• Es el menor número que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos.

• Este número es igual a la suma de los factoriales de los cinco primeros números.

• La suma de sus divisores propios es un cuadrado perfecto:

• Puede ser expresado como la suma de todos números enteros del 1 al 17


• Es el decimoséptimo número triangular. Ten presente que un número es triangular si puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero. El primer número triangular es el 1, le sigue el 3. Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón.

• Es divisible por la suma de sus dígitos: 153 / (1 + 5 + 3) = 17

• Puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos: 153 = 3 x 51.

• En el Evangelio, según San Juan, Cap. 21, se lee que: Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red. "Simón Pedro subió a la barca y sacó la red a tierra, llena de peces grandes, eran ciento cincuenta y tres y, a pesar de ser tantos la red no se rompió. (San Juan, Cap. 21 Versículo 11). Por esto el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico.

Fuentes

• http://www.planetacurioso.com/2006/11/07/curiosidades-del-numero-153/
• http://gaussianos.com/curiosidades-del-numero-153/

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CURIOSIDADES DEL 23

Retos Matemáticos les trae algunas de las curiosidades que obstenta el número veintitres 23.

• 23 está formado por los dos primeros números primos y la suma de éstos también es un número primo, 2 + 3  =  5.
• 23 es la suma de tres números primos consecutivos, 5+7+11= 23
• Es el menor de los números primos, cuya suma de los cuadrados de sus dígitos es también un número primo impar.

• 2^n + 3^n  es un número primo para n = 0, 1 y 2.  Veamos:

• Si el número e es elevado a la pi, el resultado en su parte entera es 23.

• Es el menor de los números primos cuyo número en reverso es una potencia.

• La suma de sus factoriales, corresponde a una potencia de los dígitos que lo conforman:

• 23 es el menor de los números primos que no es suma de dos números de Ulam.  Recordemos que un  Número de Ulam es un miembro de una secuencia entera, la cual fue concebida por el matemático polaco Stanislaw Ulam.  Los dos primeros terminos de Ulam son 1 y 2, le siguen,  3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99.
• 23 son las parejas de números primos mayores que 23 que suman 1000, y son:  (29,971), (47,953), (53,947), (59,941), (71,929), (89,911), (113,887), (137,863), (173,827). (179,821), (191,809), (227,773), (239,761), (257,743), (347,653), (353,647), (359,641), (383,617), (401,599), (431,569), (443,557), (479,521), (491,509).
• La suma de los primeros 23 números primos es 874 que es múltiplo de 23, observa como 874 = 23 x 38 .
• Los problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos compilados por el matemático alemán David Hilbert, presentados en el año 1900.  Cabe anotar que originalmente Hilbert incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió excluir uno de ellos de la publicada.
• La bomba Atomica cayo en Hiroshima a las 08:15  y  0+8+15=23
• El Titanic, se hundió el 15 de abril de 1912, lo curiosos es que si sumamos los dígitos de la fecha 15/04/1912;  1+5+0+4+1+9+1+2 = 23
• El World Trade Center (WTC), fue un complejo ubicado en Nueva York, Estados Unidos, donde se situaban las Torres Gemelas, destruidas el 11 de septiembre de 2001 a causa de un atentado terrorista.  La fecha 11/09/2001  y  11+0+9+2+0+0+1 = 23

Fuentes:

• http://maikelnai.elcomercio.es/2007/01/18/curiosidades-sobre-el-numero-primo-23/
• http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

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CURIOSIDADES DEL 91

Si multiplicamos el número 91  por los números del 1 al 9, se obtienen unos resultados bien curiosos:

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