CLASES DE NÚMEROS

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos o clases de números, a continuación se indican algunos:
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NÚMERO PRIMO

Un número primo es un número natural mayor que 1 y que posee exactamente dos divisores, el 1 y el mismo número.  Son números primos:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

La gráfica nos muestra los primeros números primos menores que 100.

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS
Dos o más números son primos relativos o primos entre sí, o coprimos, si su máximo común divisor MCD es 1.  Por ejemplo 8 y 25 son primos relativos, así 8 y 25 no sean primos.

También son primos relativos o primos entre sí, los números 22, 32 y 35:

Dos números consecutivos son primos relativos.

PRIMOS GEMELOS
Dos números primos son primos gemelos si están separados por una distancia de dos unidades.  Los números 3 y 5 son primos gemelos, también lo son 11 y 13.  Las siguientes son parejas de números primos gemelos menores que 1000:  (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

NÚMERO COMPUESTO

Es todo número natural mayor que 1 no primo. Los números compuestos tienen uno o más divisores diferentes a 1 y a sí mismo.  Son números compuestos:  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ...

Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como el producto de dos enteros positivos menores que él.  Así, el número compuesto  24 puede expresarse como 3x8.

De igual manera los números compuestos pueden expresarse como el producto de dos o más números primos:  Así el número compuesto 15 puede expresarse como 3x5.

NÚMERO PERFECTO

Todo número natural es perfecto, si la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el mismo número) es igual al número.  Así por ejemplo, el número 6 es perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2 y 3 y la suma de ellos es igual al mismo número, es decir, 6.

Son números perfectos:  6, 28, 496, 8128.

Considerando la suma de sus divisores propios de un números existen otros tipos de números como:

NÚMERO DEFECTIVO

También llamado deficiente o retrasado y es aquel número cuya suma de sus divisores propios es menor que dicho número.  Por ejemplo, 14 es un número defectivo ya que sus divisores propios son:  1, 2  y  7, y la suma de ellos es 1+2+7 =10 que es menor que el número.  Otro número defectivo es 16, pues sus divisores propios son:  1, 2, 4 y 8, y la suma de estos divisores es:  1+2+4+8=15, que también es menor que el número.

Todos los números primos son defectivos, y también lo son las potencias de los números primos y los divisores propios de los números defectivos y perfectos. Es fácil ver que existen infinitos números defectivos, ya que existen infinitos números primos, y éstos son sólo algunos de los números defectivos.

NÚMERO ABUNDANTE

Todo número natural es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número.  También llamado número excesivo. 

Los primeros números abundantes son:  12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …

Existen infinitos números abundantes pares e impares. Cualquier múltiplo propio de número perfecto, y cualquier múltiplo de un número abundante es abundante

NÚMEROS AMIGOS

Dos enteros positivos son amigos, si la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número.

Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

También son números amigos 1184 y 1210;   6232 y  6368;  17296 y 18416;   9363584 y 9437056.

NÚMERO CURIOSO

Un número natural es curioso si su cuadrado tiene al propio número como última cifra.  Así, el número 25 es curioso ya que su cuadrado es 625, también es curioso 76 porque su cuadrado es 5776

NÚMERO FELIZ

Todo número natural que cumpla  que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1.  Por ejemplo, el número 203 es un número feliz puesto que:

NÚMERO INFELIZ

Todo número natural que no es feliz.  Si un número es infeliz, la suma de los cuadrados nunca dará 1, sino que entrará en un bucle infinito.  Así por ejemplo, 16 es un número infeliz porque:

NÚMERO POLIGONAL

Tambíén llamado número figurado, es un número que puede representarse mediante un polígono regular.  Los matemáticos de la antigüedad descubrieron que los números podían representar de ciertas formas usando piedras o semillas.  Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos de los pitagóricos, triángulos y cuadrados.

Observemos algunos de los números poligonales en el siguiente cuadro:

NÚMERO PALINDRÓMICO
Número natural que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. 

Los dígitos son palindrómicos:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Son números palindrómicos de dos dígitos:  11, 22, 33, 44,  55, 66, 77, 88, 99. 

Son números palindrómicos de tres dígitos:  101, 111, 121, 131, 141,  ,..., 181, 191, 202, 212,..., 292, 303, 313,..., 898, 909, 919, 929,..., 979, 989, 999.

NÚMERO NARCISISTA

Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.  Por ejemplo: 153 es un número narcisista.

Se llaman así, porque parecen de alguna forma gustarse a sí mismos, como si se viesen reflejados en un espejo, al estilo de Narciso, el hermoso joven, que cuenta la mitología griega, estaba tan enamorado de sí mismo que absorto se miraba reflejado en las aguas de un lago, que absorto en su autocontemplación, un día se cayó y se ahogó.

El número narcisista más grande que se conoce se obtiene elevando cada uno de sus dígitos a la potencia 39 y sumando los resultados:  115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

NÚMERO VAMPIRO

Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos.  Así 2187 es un número vampiro puesto que 2187 = 27x81.

NÚMERO OMIRP

Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo.  Por ejemplo 13 es un número omirp porque 31 también es primo.  1597 también es un número omirp, ya que 7951 también es primo.

Fuentes:

• http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/
• http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
• http://www.muyinteresante.es/ique-son-los-numeros-narcisistas
• http://www.albertocoto.com/index.php?option=com_content&view=article&id=398:numeros-narcisistas&catid=16:blog&Itemid=52

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LA MÁGIA DE LOS NÚMEROS

LA MAGÍA DE LOS NÚMEROS

(Tomado de la Revista:  Muy Interesante - Juegos No. 13)

Los números enteros han ejercido siempre una fuerte influencia sobre el espíritu humano.  Dejando atrás el proceso de su creación, el hombre se presenta como un ser racional, lleno de misteriosos elementos, independientes de la mente creadora y hasta investidos de poderes mágicos y religiosos. 

Conozcamos el significado oculto de los números:

NÚMERO 0

Tardó en ser reconocido como tal.  Determina un punto sobre una recta como el 3, el 1/2,  el -5.  Los hindúes, inventores del sistema de numeración vigente hoy en todo el mundo culto, designaban el signo 0, como el lugar vacío en la escritura de los números, siendo a su vez, remplazado por sunya, palabra que significaba la condición de vacío de un lugar, o sitio en blanco, pero no "nada". 

Los arabes, introductores del sistema en España y Sicilia durante la edad media, tradujeron la palabra sifr, la cual fue latinizada por cefiro, de donde procede cero por contracción.

NÚMERO 1

Para los pitagóricos, que formaban una secta religiosa, así como una especie de gremio de matemáticos, el 1 era lo creado por la excelencia y, por lo tanto lo existente de por sí, la mónada o principio activo, que se opone a la díada o principio pasivo.  Para el neoplatónico Plotino el 1 representa la inteligencia universal.  El 1 es susceptible de dar origen a cualquier otro número entero y, como consecuencia fraccionario, irracional, etc..

NÚMERO 2

Representaba para los pitagóricos el principio pasivo, aquello que no tiene existencia por sí mismo, lo transitorio y efímero.  Se singulariza por ser el único número primo entre los pares.

NÚMERO 3

Representó la estabilidad, los cimientos sobre los que reposan todas las cosas.  La trinidad hindú está formada por tres dioses o principios:  Brahma, el pasado, principio creador; Vichnú, el presente y principio conservador; y, finalmente, Siva, el futuro destructor.  Tal es la Trimurti o trinidad de los hindúes, que era representado por un ser de tres cabezas, la de brahama por una luenga barba, tal vez para sugerir la vejez o pasado; la de Vichnú, se presentó risueña, atrayente y juvenil, y por fin, la de Siva, el destructor, de expresión bárbara y feroz.

Pitágoras que procedía de Samos y había viajado por Oriente antes de establecerse en la Magna Grecia, popularizó en Occidente el prestigio místico del número 3.  Así como los hindúes, él también creeía en la transmigración.

NÚMERO 4

Los pitagóricos veían en el número 4, la primera causa, autoengendrada o autógena, el Dios uno y cuádruple - no uno y trino-, el Tetractis o Cuadrinidad, combinación de:

1. el éter, principio activo y masculino, llamado también mónada;
2. la materia, principio femenino o pasivo, denominado díada, formado de tierra y agua (algo así como el caos);
3. el tiempo, compuesto de pasado, presente y porvenir, y por ello denominado tríada;
4. la causa universal, principio que todo lo envuelve, todo lo abarca y le impone un destino inexorable.

También parece que representaba para ellos los cuatro elementos:  fuego, agua, tierra y aire.  Los discípulos de Pitágoras juraban por aquel "que había otorgado a sus almas el Tetractis, fuente o raíz de la naturaleza eterna.

NÚMERO 5

Se halla asociado desde la antigüedad con el polígono de cinco lados o pentágono, en especial con el estrellado, que aparece en ciertas monedas griegas y al que se le atribuye desde hace muchos siglos propiedades mágicas y místicas.  Los pitagóricos adoptaron este polígono como el emblema de una secta.

NÚMERO 6
Tiene la propiedad de ser igual a la suma de sus divisores, si se exceptúa él mismo dentro de ellos, o sea,

Divisores propios de 6:  1,  2,  3
Suma de los divisores propios:  1+2+3 = 6

San Agustín subordina en cierto modo la voluntad divina al número 6, y no al revés, pues dice:

"Seis es un número perfecto en sí mismo, y no porque Dios haya creado todas las cosas en seis días; más bien es lo contrario:  creo todas las cosas en seis días porque este número es perfecto, y lo seguirá siendo aún cuando la obra de seis días no existiese".

NÚMERO 7
Está muy lejos de ser perfecto, pues por ser un número primo, su único divisor menor que él es 1.  Sin embargo, se ha enredado en la imaginación con tal terquedad que el mismo Cicerón ha declarado:  "Muy pocas cosas hay que no constituyan el nudo del número siete".

Los siete colores del arco iris, la siete cuerdas de la lira, los siete planetas conocidos de los antiguos a los que están asociados los siete días de la semana, las siete puertas de Tebas, el tributo de siete jóvenes que los atenienses pagaban a Creta hasta que Teseo dio muerte al Minotauro, los siete pecados capitales, las siete colinas de Roma y mochos sietés más, parecen dar razón al célebre tribuno romano.

NÚMERO 8
Representaba para los pitagóricos la igualdad de todos los hombres.  Y se dice que Heliogábalo solía invitar a su mesa a 8 calvos, 8 tuertos, 8 cojos y 8 tartamudos, a los que arrojaba a las fieras terminada la comida.  De este modo, expresaba el emperador su respeto por la igualdad de los hombres y por las doctrinas pitagóricas.

NÚMERO 9
La inestabilidad de las fortunas les pareció a los pitagóricos tener mucho que ver con el número 9.  En nuestros días nos preocupa el hecho de que sea un cuadrado perfecto; que, por su unidad menor que la base del sistema de numeració usual, las operaciones con números cuyas cifras son 9 se presten a ciertas abreviaciones, y el de que todo número dividido por 9 dé el mismo resultado que la suma de los valores de sus cifras, lo cal sirve de fundamento a la llamada prueba de los nueves.

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CURIOSIDADES DE PI

El número pi, es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

π (pi) es un número irracional, es decir, es un decimal infinito no periódico y es una de las constantes matemáticas más importantes.

Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de pi, truncado a sus primeras cifras decimales es: 3.14159265358979323846...

Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre de pi (de periphereia) denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo.

Algunas curiosidades sobre el número pi:

• En distintas culturas, china, egipcia, europea, india, etc., se trato de obtener mejores aproximaciones de Pi por ser de aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la construcción.
• Muchos de los intentos de evaluar Pi en la antigüedad utilizaban el método de calcular el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos a circunferencias.
• Modernamente para evaluar Pi se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV
• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/Pi²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es (Pi-2)/4
• En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo griego para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748, le dio el espaldarazo definitivo.

• En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo griego para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748, le dio el espaldarazo definitivo.
• Muchos intentos para determinar Pi con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo : "construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado".
• Johan Heinrich Lambert(1728-1777), matemático alemán, probó que Pi es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional. Números racionales son : 1, 2 , 3/4, 17/23)
• Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que Pi es un número trascendental. Esto significa entre otras cosas que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando.

• Este número cuenta con un día de celebración, el dia del Pi, que se celebra en muchos paises. El 14 de marzo de cada año, fecha que el mundo anglosajon se escribe como 3/14, mes 3, día 14, igual que los primeros decimales de la constante Pi. Este acontecimiento suele celebrarse a las 1:59 P.M, coincidiendo con una aproximación de Pi: 3.14159, la gente se reune a esa hora para recitar todas las cifras que sabe de memoria de este número, explicar o comentar curiosidades sobre él o ver Pi, La Película, entre otras actividades. En Estados Unidos, en los colegios, suelen hacer actividades especiales con los niños en clases de matemáticas. Pero este no es el único día relacionado con Pi, el 22 de julio es el Día de Aproximación a Pi, porque si se divide la fecha numérica de ese día 22 entre 7, el resultado es 3.14285714, considerado como una buena aproximación a Pi.
  

  Algunos valores de Pi obtenidos antes de 1600

  Matemático o Lugar	Año	Valor
  La Biblia (Reyes-I-7-23)		3
  Papiro de Ahmes (Egipto)	1650 a.C.	3,16
  Tablilla de Susa (Babilonia)	1600 a.C.	3,125
  Bandhayana (India)	500 a.C.	3,09
  Arquímedes de Siracusa	(287-212 a.C)	entre 223/71 y 220/70
  Liu Hui (China)	260	3,1416
  Tsu Chung Chih	480	Entre : 3,145926 y 3,1415927
  Al-Kashi (Persia)	1429	3,1415926535897932
  Franciscus Vieta (Francia)	(1540-1603)	3,1415926536

  
  
• El matemático alemán Ludolph van Ceulen(1540-1610) pidió que, como epitafio, escribiesen en su lápida las 35 cifras del número Pi que había calculado. Los alemanes llaman a Pi el número ludofiano.
• William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de Pi.(En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de este todos los demás eran incorrectos)
• En 1949 uno de los primeros ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determino Pi con 2037 decimales.
• En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.
• En 1961 Daniell Shanks(sin relación con William Shanks) y Wrench, obtuvieron en 8 h 23 min, 100.265 cifras en un IBM 7090.
• En 1983, Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada, en menos de 30 h, en un HITAC M-280 H obtuvieron 16.777.206 (2²⁴) cifras.
• En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras , utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.

Fuentes:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Número_π
• http://ciencianet.com/pi.html
• http://www.cronica.com.mx/nota.php?idc=231162

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CURIOSIDADES DEL 153

El número 153 presenta propiedades muy curiosas. Veamos algunas:

• La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto.

• Es el menor número que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos.

• Este número es igual a la suma de los factoriales de los cinco primeros números.

• La suma de sus divisores propios es un cuadrado perfecto:

• Puede ser expresado como la suma de todos números enteros del 1 al 17


• Es el decimoséptimo número triangular. Ten presente que un número es triangular si puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero. El primer número triangular es el 1, le sigue el 3. Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban trianón.

• Es divisible por la suma de sus dígitos: 153 / (1 + 5 + 3) = 17

• Puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos: 153 = 3 x 51.

• En el Evangelio, según San Juan, Cap. 21, se lee que: Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red. "Simón Pedro subió a la barca y sacó la red a tierra, llena de peces grandes, eran ciento cincuenta y tres y, a pesar de ser tantos la red no se rompió. (San Juan, Cap. 21 Versículo 11). Por esto el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico.

Fuentes

• http://www.planetacurioso.com/2006/11/07/curiosidades-del-numero-153/
• http://gaussianos.com/curiosidades-del-numero-153/

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CURIOSIDADES DEL 23

Retos Matemáticos les trae algunas de las curiosidades que obstenta el número veintitres 23.

• 23 está formado por los dos primeros números primos y la suma de éstos también es un número primo, 2 + 3  =  5.
• 23 es la suma de tres números primos consecutivos, 5+7+11= 23
• Es el menor de los números primos, cuya suma de los cuadrados de sus dígitos es también un número primo impar.

• 2^n + 3^n  es un número primo para n = 0, 1 y 2.  Veamos:

• Si el número e es elevado a la pi, el resultado en su parte entera es 23.

• Es el menor de los números primos cuyo número en reverso es una potencia.

• La suma de sus factoriales, corresponde a una potencia de los dígitos que lo conforman:

• 23 es el menor de los números primos que no es suma de dos números de Ulam.  Recordemos que un  Número de Ulam es un miembro de una secuencia entera, la cual fue concebida por el matemático polaco Stanislaw Ulam.  Los dos primeros terminos de Ulam son 1 y 2, le siguen,  3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99.
• 23 son las parejas de números primos mayores que 23 que suman 1000, y son:  (29,971), (47,953), (53,947), (59,941), (71,929), (89,911), (113,887), (137,863), (173,827). (179,821), (191,809), (227,773), (239,761), (257,743), (347,653), (353,647), (359,641), (383,617), (401,599), (431,569), (443,557), (479,521), (491,509).
• La suma de los primeros 23 números primos es 874 que es múltiplo de 23, observa como 874 = 23 x 38 .
• Los problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos compilados por el matemático alemán David Hilbert, presentados en el año 1900.  Cabe anotar que originalmente Hilbert incluyó 24 problemas en su lista, pero decidió excluir uno de ellos de la publicada.
• La bomba Atomica cayo en Hiroshima a las 08:15  y  0+8+15=23
• El Titanic, se hundió el 15 de abril de 1912, lo curiosos es que si sumamos los dígitos de la fecha 15/04/1912;  1+5+0+4+1+9+1+2 = 23
• El World Trade Center (WTC), fue un complejo ubicado en Nueva York, Estados Unidos, donde se situaban las Torres Gemelas, destruidas el 11 de septiembre de 2001 a causa de un atentado terrorista.  La fecha 11/09/2001  y  11+0+9+2+0+0+1 = 23

Fuentes:

• http://maikelnai.elcomercio.es/2007/01/18/curiosidades-sobre-el-numero-primo-23/
• http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

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