CLASES DE NÚMEROS

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos o clases de números, a continuación se indican algunos:
**

NÚMERO PRIMO

Un número primo es un número natural mayor que 1 y que posee exactamente dos divisores, el 1 y el mismo número.  Son números primos:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

La gráfica nos muestra los primeros números primos menores que 100.

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS
Dos o más números son primos relativos o primos entre sí, o coprimos, si su máximo común divisor MCD es 1.  Por ejemplo 8 y 25 son primos relativos, así 8 y 25 no sean primos.

También son primos relativos o primos entre sí, los números 22, 32 y 35:

Dos números consecutivos son primos relativos.

PRIMOS GEMELOS
Dos números primos son primos gemelos si están separados por una distancia de dos unidades.  Los números 3 y 5 son primos gemelos, también lo son 11 y 13.  Las siguientes son parejas de números primos gemelos menores que 1000:  (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

NÚMERO COMPUESTO

Es todo número natural mayor que 1 no primo. Los números compuestos tienen uno o más divisores diferentes a 1 y a sí mismo.  Son números compuestos:  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, ...

Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como el producto de dos enteros positivos menores que él.  Así, el número compuesto  24 puede expresarse como 3x8.

De igual manera los números compuestos pueden expresarse como el producto de dos o más números primos:  Así el número compuesto 15 puede expresarse como 3x5.

NÚMERO PERFECTO

Todo número natural es perfecto, si la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el mismo número) es igual al número.  Así por ejemplo, el número 6 es perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2 y 3 y la suma de ellos es igual al mismo número, es decir, 6.

Son números perfectos:  6, 28, 496, 8128.

Considerando la suma de sus divisores propios de un números existen otros tipos de números como:

NÚMERO DEFECTIVO

También llamado deficiente o retrasado y es aquel número cuya suma de sus divisores propios es menor que dicho número.  Por ejemplo, 14 es un número defectivo ya que sus divisores propios son:  1, 2  y  7, y la suma de ellos es 1+2+7 =10 que es menor que el número.  Otro número defectivo es 16, pues sus divisores propios son:  1, 2, 4 y 8, y la suma de estos divisores es:  1+2+4+8=15, que también es menor que el número.

Todos los números primos son defectivos, y también lo son las potencias de los números primos y los divisores propios de los números defectivos y perfectos. Es fácil ver que existen infinitos números defectivos, ya que existen infinitos números primos, y éstos son sólo algunos de los números defectivos.

NÚMERO ABUNDANTE

Todo número natural es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número.  También llamado número excesivo. 

Los primeros números abundantes son:  12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …

Existen infinitos números abundantes pares e impares. Cualquier múltiplo propio de número perfecto, y cualquier múltiplo de un número abundante es abundante

NÚMEROS AMIGOS

Dos enteros positivos son amigos, si la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número.

Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284.
• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

También son números amigos 1184 y 1210;   6232 y  6368;  17296 y 18416;   9363584 y 9437056.

NÚMERO CURIOSO

Un número natural es curioso si su cuadrado tiene al propio número como última cifra.  Así, el número 25 es curioso ya que su cuadrado es 625, también es curioso 76 porque su cuadrado es 5776

NÚMERO FELIZ

Todo número natural que cumpla  que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1.  Por ejemplo, el número 203 es un número feliz puesto que:

NÚMERO INFELIZ

Todo número natural que no es feliz.  Si un número es infeliz, la suma de los cuadrados nunca dará 1, sino que entrará en un bucle infinito.  Así por ejemplo, 16 es un número infeliz porque:

NÚMERO POLIGONAL

Tambíén llamado número figurado, es un número que puede representarse mediante un polígono regular.  Los matemáticos de la antigüedad descubrieron que los números podían representar de ciertas formas usando piedras o semillas.  Las expresiones «números triangulares» o «números cuadrados» no son meras metáforas sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos de los pitagóricos, triángulos y cuadrados.

Observemos algunos de los números poligonales en el siguiente cuadro:

NÚMERO PALINDRÓMICO
Número natural que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. 

Los dígitos son palindrómicos:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Son números palindrómicos de dos dígitos:  11, 22, 33, 44,  55, 66, 77, 88, 99. 

Son números palindrómicos de tres dígitos:  101, 111, 121, 131, 141,  ,..., 181, 191, 202, 212,..., 292, 303, 313,..., 898, 909, 919, 929,..., 979, 989, 999.

NÚMERO NARCISISTA

Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.  Por ejemplo: 153 es un número narcisista.

Se llaman así, porque parecen de alguna forma gustarse a sí mismos, como si se viesen reflejados en un espejo, al estilo de Narciso, el hermoso joven, que cuenta la mitología griega, estaba tan enamorado de sí mismo que absorto se miraba reflejado en las aguas de un lago, que absorto en su autocontemplación, un día se cayó y se ahogó.

El número narcisista más grande que se conoce se obtiene elevando cada uno de sus dígitos a la potencia 39 y sumando los resultados:  115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

NÚMERO VAMPIRO

Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos.  Así 2187 es un número vampiro puesto que 2187 = 27x81.

NÚMERO OMIRP

Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo.  Por ejemplo 13 es un número omirp porque 31 también es primo.  1597 también es un número omirp, ya que 7951 también es primo.

Fuentes:

• http://gaussianos.com/tipos-de-numeros/
• http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
• http://www.muyinteresante.es/ique-son-los-numeros-narcisistas
• http://www.albertocoto.com/index.php?option=com_content&view=article&id=398:numeros-narcisistas&catid=16:blog&Itemid=52

LEER MÁS

MULTIPLICACIÓN DIFERENTE

Como ya sabemos, la multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica el otro número.  Así, 5x4 (cinco por cuatro), es igual a sumar cuatro veces el número 5, es decir:  5x4 = 5+5+5+5 = 20.  El resultado de la multiplicación recibe el nombre de producto y los números que se multiplican se llaman factores.

Si queremos multiplicar, 37 x 26, normalmente haríamos:

No son pocos los libros y sitios en internet donde se mencionan diferentes métodos de multiplicar.  Vamos a conocer algunos de éstos:

MÉTODO RUSO

Este método consiste en escribir los dos números A y B que se van a multiplicar en la parte superior como formando dos columnas.  

• Se inicia dividiendo el número A en dos, sucesivamente, ignorando el resto, hasta llegar a la unidad.
• A su vez, en la otra columna el número B se multiplica por 2 tantas veces como se ha dividido entre 2.  
• Se tachan todos los números pares de la primera columna y los correspondientes de la otra columna.
• Se suman todos los números de la segunda columna (no tachados).

Sigamos con el mismo ejemplo, multiplicar 37 x 26:

Observemos como este método sólo exige divisiones por 2 y duplicaciones, además de la suma final.

De hecho, hasta hace poco tiempo, a´si era que los campesinos de Rusia multiplicaban, y hay evidencias de uso reciente en Alemania, Francia e Inglaterra.  Por otro lados, es muy semejante al método empleado por los egipcios 20 siglos antes de la era cristiana.

MÉTODO EGIPCIO

El método utilizado en el antiguo Egipto sólo requiere saber sumar.  Si queremos multiplicar AxB, desarrollamos lo siguiente:

• Se forman dos columnas, en la primera columna escribimos la serie de números   2ⁿ, uno debajo de otro, es decir, 1, 2, 4, 8, 16 . . . ,  hasta que   2ⁿ,  sea menor o igual que el número A.
• En la segunda columna, se va escribiendo uno debajo de otro, el doble de cada número, empezando por el número B, hasta el último número de la primera columna.
• En la primera columna se marcan, puede ser con una x, los números cuya suma sea igual al número A.
• Sumamos los números correspondiente de la segunda columna a los marcados de la primera.  Este resultado es el producto de los números A y B.

Continuando con el primer ejemplo, multipliquemos 37x26

Si queremos multiplicar 45 x 32

Al multiplicamos 16 x 45, se presenta un caso especial, veamos:

MÉTODO  DE MULTIPLICACIÓN MAYA

Este método de multiplicación se basa en trazar tantas líneas como indique cada uno de los dígitos del número y luego se cuentan los puntos que quedan.  Veamos un ejemplo:  Multiplicar 12x23.  

• Lo primero que hay que hacer es de acuerdo al primer factor que es 12, trazar un línea correspondiente al primer dígito e inmediatamente después, dejando un espacio 2 líneas que corresponden al segundo dígito del primer factor.
• Se hace lo mismo con el segundo factor que 23, es decir se trazan 2 líneas correspondientes al primer dígito del factor y que se corten con las líneas anteriores y luego 3 líneas correspondientes al segundo dígito, como se observa en la figura:

Ahora se trazan dos arcos como se puede observar en la siguiente figura y procedemos a contar los puntos de cada área, así:

Observa:  Si se cuentan los puntos del área que cubre el primer arco, tenemos 2, luego contamos con del segundo arco y tenemos 6 y al contar los puntos centrales tenemos 7, por lo tanto el resultado es:  12x23=276.

Veamos un segundo ejemplo:  Multiplicar 31x22

No necesitamos calculadora, tampoco sabernos las tablas de multiplicar, sólo una hoja de papel, un lápiz, trazar rayas y por último contar puntos, así de fácil.

Y si la suma de los puntos es mayor o igual que 10 qué hacemos en este caso:  Multipliquemos 12x34.

Hallemos ahora el producto de multiplicar 34x14.

Como respuesta a un interrogante por parte de un seguidor, publicamos la multiplicación 325x48.  Veamos:

Nos llegó un correo preguntando ¿como se aplicaría este proceso cuando uno o los dos números incluyen ceros?.  Veamos cómo multiplicar 105x302=?.

PRIMERO:  Se trazan las líneas de acuerdo a cada número.  ¿Pero cómo representar el cero?, pues bien trazamos 1  (una) línea como si fuera el número 1 pero con un color diferente.

SEGUNDO:  Marcamos los puntos donde hay cortes o intersecciones de las líneas.  No se tienen en cuenta los cortes donde interviene la línea de otro color (es el cero).

TERCERO:  Procedemos a contarlos, según los grupos, como se ilustra en la figura.

CUARTO:  Cuando se obtienen cantidades mayores que nueve, comenzamos de derecha a izquierda, dejando la cifra de las unidades y la de las decenas se la sumamos al resultado de la izquierda.  El resultado final se toma de todos los números que quedaron y se comienza ahora de derecha a izquierda.  Así 105x302=31710 tal como se puede comprobar efectuando la multiplicación.

Otra pregunta de nuestros seguidores:  ¿Cómo multiplicar 10x10? Veamos:

MULTIPLICACIÓN ARABE
Para este tipo de multiplicación, primero disponemos los números como se ilustra en la figura y elaboramos una tabla con tantas filas y columnas como dígitos tengan los factores.  Trazamos líneas dividiendo cada casilla de la tabla en dos.

Luego comenzamos a multiplicar el primer dígito del primer factor con el primer dígito del segundo factor, seguidamente el segundo dígito del primer factor con el primer dígito de segundo factor y así sucesivamente.   Las decenas se escriben en la parte superior de las casilla (dividida en 2) y las unidades en la inferior.   Observa el gráfico que ilustra mejor el procedimiento.  

Por último sumamos los números de cada diagonal comenzando de abajo hacia arriba.  Si la suma es mayor de diez, se deja o se escribe la unidad y se le suman a la siguiente diagonal.  El resultado final se forma juntando los números pero ahora de arriba abajo.

Veamos un segundo ejemplo donde la suma de los números de las casillas sea mayor que 10. 

LEER MÁS

LA MÁGIA DE LOS NÚMEROS

LA MAGÍA DE LOS NÚMEROS

(Tomado de la Revista:  Muy Interesante - Juegos No. 13)

Los números enteros han ejercido siempre una fuerte influencia sobre el espíritu humano.  Dejando atrás el proceso de su creación, el hombre se presenta como un ser racional, lleno de misteriosos elementos, independientes de la mente creadora y hasta investidos de poderes mágicos y religiosos. 

Conozcamos el significado oculto de los números:

NÚMERO 0

Tardó en ser reconocido como tal.  Determina un punto sobre una recta como el 3, el 1/2,  el -5.  Los hindúes, inventores del sistema de numeración vigente hoy en todo el mundo culto, designaban el signo 0, como el lugar vacío en la escritura de los números, siendo a su vez, remplazado por sunya, palabra que significaba la condición de vacío de un lugar, o sitio en blanco, pero no "nada". 

Los arabes, introductores del sistema en España y Sicilia durante la edad media, tradujeron la palabra sifr, la cual fue latinizada por cefiro, de donde procede cero por contracción.

NÚMERO 1

Para los pitagóricos, que formaban una secta religiosa, así como una especie de gremio de matemáticos, el 1 era lo creado por la excelencia y, por lo tanto lo existente de por sí, la mónada o principio activo, que se opone a la díada o principio pasivo.  Para el neoplatónico Plotino el 1 representa la inteligencia universal.  El 1 es susceptible de dar origen a cualquier otro número entero y, como consecuencia fraccionario, irracional, etc..

NÚMERO 2

Representaba para los pitagóricos el principio pasivo, aquello que no tiene existencia por sí mismo, lo transitorio y efímero.  Se singulariza por ser el único número primo entre los pares.

NÚMERO 3

Representó la estabilidad, los cimientos sobre los que reposan todas las cosas.  La trinidad hindú está formada por tres dioses o principios:  Brahma, el pasado, principio creador; Vichnú, el presente y principio conservador; y, finalmente, Siva, el futuro destructor.  Tal es la Trimurti o trinidad de los hindúes, que era representado por un ser de tres cabezas, la de brahama por una luenga barba, tal vez para sugerir la vejez o pasado; la de Vichnú, se presentó risueña, atrayente y juvenil, y por fin, la de Siva, el destructor, de expresión bárbara y feroz.

Pitágoras que procedía de Samos y había viajado por Oriente antes de establecerse en la Magna Grecia, popularizó en Occidente el prestigio místico del número 3.  Así como los hindúes, él también creeía en la transmigración.

NÚMERO 4

Los pitagóricos veían en el número 4, la primera causa, autoengendrada o autógena, el Dios uno y cuádruple - no uno y trino-, el Tetractis o Cuadrinidad, combinación de:

1. el éter, principio activo y masculino, llamado también mónada;
2. la materia, principio femenino o pasivo, denominado díada, formado de tierra y agua (algo así como el caos);
3. el tiempo, compuesto de pasado, presente y porvenir, y por ello denominado tríada;
4. la causa universal, principio que todo lo envuelve, todo lo abarca y le impone un destino inexorable.

También parece que representaba para ellos los cuatro elementos:  fuego, agua, tierra y aire.  Los discípulos de Pitágoras juraban por aquel "que había otorgado a sus almas el Tetractis, fuente o raíz de la naturaleza eterna.

NÚMERO 5

Se halla asociado desde la antigüedad con el polígono de cinco lados o pentágono, en especial con el estrellado, que aparece en ciertas monedas griegas y al que se le atribuye desde hace muchos siglos propiedades mágicas y místicas.  Los pitagóricos adoptaron este polígono como el emblema de una secta.

NÚMERO 6
Tiene la propiedad de ser igual a la suma de sus divisores, si se exceptúa él mismo dentro de ellos, o sea,

Divisores propios de 6:  1,  2,  3
Suma de los divisores propios:  1+2+3 = 6

San Agustín subordina en cierto modo la voluntad divina al número 6, y no al revés, pues dice:

"Seis es un número perfecto en sí mismo, y no porque Dios haya creado todas las cosas en seis días; más bien es lo contrario:  creo todas las cosas en seis días porque este número es perfecto, y lo seguirá siendo aún cuando la obra de seis días no existiese".

NÚMERO 7
Está muy lejos de ser perfecto, pues por ser un número primo, su único divisor menor que él es 1.  Sin embargo, se ha enredado en la imaginación con tal terquedad que el mismo Cicerón ha declarado:  "Muy pocas cosas hay que no constituyan el nudo del número siete".

Los siete colores del arco iris, la siete cuerdas de la lira, los siete planetas conocidos de los antiguos a los que están asociados los siete días de la semana, las siete puertas de Tebas, el tributo de siete jóvenes que los atenienses pagaban a Creta hasta que Teseo dio muerte al Minotauro, los siete pecados capitales, las siete colinas de Roma y mochos sietés más, parecen dar razón al célebre tribuno romano.

NÚMERO 8
Representaba para los pitagóricos la igualdad de todos los hombres.  Y se dice que Heliogábalo solía invitar a su mesa a 8 calvos, 8 tuertos, 8 cojos y 8 tartamudos, a los que arrojaba a las fieras terminada la comida.  De este modo, expresaba el emperador su respeto por la igualdad de los hombres y por las doctrinas pitagóricas.

NÚMERO 9
La inestabilidad de las fortunas les pareció a los pitagóricos tener mucho que ver con el número 9.  En nuestros días nos preocupa el hecho de que sea un cuadrado perfecto; que, por su unidad menor que la base del sistema de numeració usual, las operaciones con números cuyas cifras son 9 se presten a ciertas abreviaciones, y el de que todo número dividido por 9 dé el mismo resultado que la suma de los valores de sus cifras, lo cal sirve de fundamento a la llamada prueba de los nueves.

LEER MÁS

RETOCLASE 11

La mejor manera de finalizar el año escolar es estar acompañado de Retos Matemáticos. Para esta semana presentamos el RetoClase 11 que viene cargado de divertidos retos como Descubre el Personaje, El juego del Ken-Ken X de tamaño 5x5 y el Ken-Ken Circular de orden 4.

LEER MÁS

RETOCLASE 10 A - 10 B

El equipo Retos Matemáticos sigue pensando en ti, y para esta semana trae el Retoclase 10 en sus dos categorías y viene cargado de divertidos juegos como el KenKen, los Cuadrados mágicos, el Intruso, el Simidoku y una variante del Sudoku como es el Sudoku Estrella. Anda, corre a resolverlo y a entregarlo a tu profe de matemática.

LEER MÁS